【观点提要】 

　　•聚类是人类认知世界的一项重要能力，在大数据分析时代，可以用来解决数据划分问题。 

　　•聚类的基本要求，并没有涉及聚类函数，聚类判据，或者聚类有效性，只是对于聚类结果提出了要求。从聚类的基本要求出发，可推出聚类结果的公共性质：样本可分性公理、类可分性公理、相似性可分性公理。 

　　•只简单的遵循聚类公理是不够的，因为它只是聚类的最低标准。聚类结果应用离违反聚类公理的情形越远越好。由此，可以推出以下3条聚类准则：类分离性准则、类紧致性准则、劣类避免准则。 　  

　　1月23日下午，紫冬创新沙龙第五期活动在智能化大厦十七层咖啡厅如期举行。北京交通大学交通数据分析与挖掘北京市重点实验室主任、北京交通大学计算机科学系主任于剑应邀出席并做《聚类公理化研究及其应用》特邀报告。活动由自动化所副总工程师张文生主持。 

　　报告首先提出：聚类是人类认知世界的一项重要能力，在大数据分析时代，可以用来解决数据划分问题。于剑老师认为：聚类实际上并没有严格的定义，但是研究者有一个基本认可的共识。那就是，将n个对象划分成c个子集，使得每个子集内的对象相似，不通子集内的对象不相似。 

　　接下来，报告中给出了聚类分析的四个基本步骤：数据表示、聚类判据、聚类算法和聚类评估，并分别进行了阐述与数学符号定义。在总结了聚类算法的典型应用以及涉及到的多种基础理论之后，报告抛出了“聚类分析有无理论”，“聚类算法有无共同性质”即“聚类公理化研究是否可行”的问题，引发现场听众思考。 

　　报告进一步给出了目前文献中存在的三种研究聚类公理化的方法：聚类判据（目标函数）的公理化、聚类映射的公理化、聚类有效性函数的公理化。于剑老师认为，这些公理貌似很有道理，但是存在以下几点缺点：1）文献中对聚类判据的公理化，过于具体，对于很多聚类算法不适用；2）文献中对聚类函数的公理化，没有或者很少算法满足；3）文献中对聚类有效性的公理化，不能区分划分与聚类结果。因此，我们得出，目前文献中的聚类公理化体系与聚类的基本要求联系不紧密。 

　　聚类的基本要求，并没有涉及聚类函数，聚类判据，或者聚类有效性，只是对于聚类结果提出了要求。于剑老师从聚类的基本要求出发，研究聚类结果的公共性质：样本可分性公理、类可分性公理、相似性可分性公理，并分别给出了数学描述。 

　　报告紧接着分析了聚类结果与划分的异同点，并给出了边界集的概念。如果有边界集为空，则层次聚类算法，硬划分聚类算法遵循聚类公理。软化分就复杂一些，其聚类结果与聚类公理更复杂一些。报告中指出，只简单的遵循聚类公理是不够的，因为它只是聚类的最低标准。聚类结果应用离违反聚类公理的情形越远越好。由此，可以推出以下3条聚类准则：类分离性准则、类紧致性准则、劣类避免准则。报告中分别给出了详细的介绍。 

　　最后，于剑老师对其聚类公理化的工作做了总结：1）提出了一个聚类公理体系，该体系第一次可以将C-means，Model based clustering等著名聚类判据演绎推出；2）提出了聚类分析中的劣类定义和边界集的概念；3）提出了聚类判据设计的3条原则；4）提出了一个软聚类算法理论分析框架。